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<!DOCTYPE html>

<title>Potenz (Mathematik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Potenz (Mathematik)</h1>

</header>

</div>

Eine Potenz (von <a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> potentia ‚Vermögen, Macht‘)<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das <a href="Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplizieren</a> seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine <a href="Iteration" title="Iteration">wiederholte</a> <a href="Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">mathematische Rechenoperation</a> ist. Wie beim Multiplizieren ein <a href="Summand" class="mw-redirect" title="Summand">Summand</a> wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein <a href="Multiplikation#Namensgebung" title="Multiplikation">Faktor</a> wiederholt multipliziert. Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben. Man schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{Potenzwert}}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}.}">

<mtext>Potenzwert</mtext>

</mrow>

<msup>

<mtext>Basis</mtext>

</mrow>

<mtext>Exponent</mtext>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{Potenzwert}}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff305551a1a28b72f832780d90fa96f13fd379b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:27.72ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\text{Potenzwert}}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Man spricht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.448ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{n}}" loading="lazy"> als „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> hoch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">“, „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-te Potenz von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">“, „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Potenz“ oder kurz „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten“ aus. Im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2}" loading="lazy"> ist auch „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> (zum) Quadrat“ üblich.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> heißt Basis (oder <a href="Grundzahl" class="mw-redirect" title="Grundzahl">Grundzahl</a>), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.448ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{n}}" loading="lazy">. Das Ergebnis heißt Potenz oder Wert der Potenz.

Die <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmengen</a> sowohl auf seiten der Exponenten wie auf seiten der Basen werden im Folgenden Schritt für Schritt erweitert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Natürliche_Exponenten">Natürliche Exponenten</h3></div>

Die Potenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.448ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{n}}" loading="lazy"> wird für <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reelle</a> oder <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe</a> Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> (allgemeiner Elemente eines beliebigen multiplikativen <a href="Monoid" title="Monoid">Monoids</a>) und <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahlen" class="mw-redirect" title="Natürliche Zahlen">natürliche</a> Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> durch

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}:=\underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n{\text{ Faktoren}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89d6bd26a94c50ef80bfbf5bb1c286590898d646.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; margin-right: -0.028ex; width:17.996ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle a^{n}:=\underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n{\text{ Faktoren}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert.

Diese Definition gilt nur für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0717d3f3dec2b0fb4f0205e011f7d04d5a3c07d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.806ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }" loading="lazy"> Damit die aus ihr (ebenfalls nur für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0717d3f3dec2b0fb4f0205e011f7d04d5a3c07d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.806ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }" loading="lazy">) folgende <a href="Identit%C3%A4t#Mathematik" title="Identität">Identität</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot a^{n}=a^{n+1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot a^{n}=a^{n+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94afc6d7e281c465861c68141c8b0f6f9078b3b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.004ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\cdot a^{n}=a^{n+1}}" loading="lazy"> auch noch für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy"> gilt, wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{0}:=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{0}:=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb68db331e9b09b717e07696ffd6f7b02a3b1f5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.192ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{0}:=1}" loading="lazy"> festgelegt. (Anmerkungen zum Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=0}" loading="lazy"> <a href="#Null_hoch_null">siehe unten</a>.)

Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy">:

Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie es der Exponent angibt“, also

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n{\text{ Faktoren}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f055201100b88ef9be80224fc727e1508f4e38b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; margin-right: -0.028ex; width:20.191ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n{\text{ Faktoren}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=1\cdot a\cdot a\\a^{1}&=1\cdot a\\a^{0}&=1\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44c9704db3a4846760ed58a72ef0434272d6815d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:13.114ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=1\cdot a\cdot a\\a^{1}&=1\cdot a\\a^{0}&=1\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei <a href="Negative_Zahl" class="mw-redirect" title="Negative Zahl">negativer</a> Basis und <a href="Geradzahlig" class="mw-redirect" title="Geradzahlig">geradzahligem</a> Exponenten ist die Potenz positiv:

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-|a|)^{2n}=|a|^{2n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77fad055d7150f483698858ab2aed5c1d1b7cd57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.844ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (-|a|)^{2n}=|a|^{2n}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei negativer Basis und ungeradzahligem Exponenten ist die Potenz negativ:

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-|a|)^{2n+1}=-|a|^{2n+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/217bef0bebdf7b9b9e93a81ba976e90add206dd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.853ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (-|a|)^{2n+1}=-|a|^{2n+1}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ganze_negative_Exponenten">Ganze negative Exponenten</h3></div>

Negative Exponenten bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (<a href="Division_(Mathematik)" title="Division (Mathematik)">Division</a>) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie es der <a href="Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betrag</a> des Exponenten angibt“.

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Divisoren</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-n}=1:\underbrace {a:a:a:\dotsb :a} _{n{\text{ Divisoren}}}=(\dotsb ((1:a):a):a:\dotsb ):a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a6a41d16e90e531edcfada05bde9d945582539b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:55.444ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle a^{-n}=1:\underbrace {a:a:a:\dotsb :a} _{n{\text{ Divisoren}}}=(\dotsb ((1:a):a):a:\dotsb ):a}" loading="lazy"></dd></dl>

Für eine reelle <a href="Zahl" title="Zahl">Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und eine natürliche Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> definiert man also:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/355d9130df0d4e196fedc02399be7635df2c44a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.604ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}" loading="lazy"></dd></dl>

Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und <a href="Inverses_Element" title="Inverses Element">inverse Elemente</a> zur Verfügung stehen, beispielsweise bei <a href="Invertierbare_Matrix" class="mw-redirect" title="Invertierbare Matrix">invertierbaren</a> <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rationale_Exponenten">Rationale Exponenten</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> eine <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationale Zahl</a> mit der Bruchdarstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b692df81ac75199ff4f94510cd1c59fd44a5129.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.447ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4c106375810356e76152a9d4eb08b40e4f17477.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} }" loading="lazy">. Für beliebige positive reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> definiert man:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msup>

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}=a^{\tfrac {m}{n}}:={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3f6d9fc9c7bbb967fcd80208480f8fdb6175c52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.644ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle a^{q}=a^{\tfrac {m}{n}}:={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \qquad }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:4.645ex; height:0.343ex;" alt="{\displaystyle \qquad }" loading="lazy"> oder, was äquivalent ist: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;a^{\tfrac {m}{n}}:={\Big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\Big )}^{m}}">

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;a^{\tfrac {m}{n}}:={\Big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\Big )}^{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5780d79e36b2ccfdbe7cc8bd57827d85876a1867.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.748ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \;a^{\tfrac {m}{n}}:={\Big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\Big )}^{m}}" loading="lazy"></dd></dl>

Zum Beispiel gilt:

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mrow>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{3{,}1}=2^{\frac {31}{10}}={\sqrt[{10}]{2^{31}}}={\big (}{\sqrt[{10}]{2}}{\big )}^{31}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cd71a121ed0d5532e10ac77fd6e05fecca9c7b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.847ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle 2^{3{,}1}=2^{\frac {31}{10}}={\sqrt[{10}]{2^{31}}}={\big (}{\sqrt[{10}]{2}}{\big )}^{31}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche <a href="Bruchrechnung" title="Bruchrechnung">Bruchdarstellung</a> man gewählt hat.

Dieselbe <a href="Definition" title="Definition">Definition</a> gilt auch für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=0}" loading="lazy">. Daraus folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{q}=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{q}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed84c574f6fb65553bd61fd14c87d93f77a5bb49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.412ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0^{q}=0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/482e0a33d9e8fd6307b5f68a5182c2d0d14efc9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q>0}" loading="lazy"> gilt und dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5c678ab5a4efaf1f6f5d77e8c8d16262167674f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0^{q}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/718e01ad20a5bde64f26c6a5eef7088ea65a4cec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q<0}" loading="lazy"> nicht existiert.

Wenn man <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)">Wurzeln</a> aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> sind.

Für den Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> kann man bei Berechnungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb9d93a9946a00bc4dd72f46129a7a8192f5aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.218ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{q}}" loading="lazy"> alle Bruchdarstellungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b692df81ac75199ff4f94510cd1c59fd44a5129.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.447ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}" loading="lazy"> mit ungeraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> benutzen. Aber bei Benutzung von Bruchdarstellungen mit geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> können <a href="Fehler" title="Fehler">Fehler</a> entstehen. Zum Beispiel gilt:

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mroot>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<mroot>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<mroot>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2=(-8)^{1\!/3}={\sqrt[{3\,}]{-8}}={\sqrt[{9\,}]{(-8)^{3}}}\;\neq \;{\sqrt[{6\,}]{(-8)^{2}}}=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db264a19b910af60f71ed18367696620d1384993.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:49.229ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle -2=(-8)^{1\!/3}={\sqrt[{3\,}]{-8}}={\sqrt[{9\,}]{(-8)^{3}}}\;\neq \;{\sqrt[{6\,}]{(-8)^{2}}}=2}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reelle_Exponenten">Reelle Exponenten</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> eine beliebige reelle Zahl und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (q_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (q_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54879f48839adba8e201d105f693cbcfedf5f0dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (q_{n})}" loading="lazy"> eine Folge rationaler Zahlen, die gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> konvergiert, so definiert man:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{r}:=\lim _{n\to \infty }a^{q_{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c95dda6a2da5644d548d9587588105aac69bc841.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.769ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle a^{r}:=\lim _{n\to \infty }a^{q_{n}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Definition ist korrekt, d. h., der <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a> existiert immer und hängt nicht von der Auswahl der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (q_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (q_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54879f48839adba8e201d105f693cbcfedf5f0dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (q_{n})}" loading="lazy"> ab.

Zum Beispiel ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{\pi }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{\pi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0ff3b07456829ece2ed06a99c727814b5a9e396.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.337ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{\pi }}" loading="lazy"> gleich dem Grenzwert der <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{3},\,2^{3{,}1},\,2^{3{,}14},\,\dotsc .}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{3},\,2^{3{,}1},\,2^{3{,}14},\,\dotsc .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffffb5ed83b787d50940483e6fc1947a036e8248.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.051ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2^{3},\,2^{3{,}1},\,2^{3{,}14},\,\dotsc .}" loading="lazy">

Die Definition lässt sich nicht auf den Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> erweitern, da in diesem Fall der Grenzwert nicht zu existieren braucht bzw. für verschiedene Wahlen der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (q_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (q_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54879f48839adba8e201d105f693cbcfedf5f0dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (q_{n})}" loading="lazy"> sich verschiedene Grenzwerte ergeben.

Eine andere Definition ist über die natürliche <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> und den natürlichen <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a> möglich:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{r}:=\operatorname {exp} (r\ln a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19e51648ecfae6d7e6069b5d97d1ad610c21aa1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a^{r}:=\operatorname {exp} (r\ln a)}" loading="lazy"></dd></dl>

Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre <a href="Reihenentwicklung" title="Reihenentwicklung">Reihenentwicklung</a> definiert werden:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {exp} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04fdd2fc0ad8e028db705a2e306371c24e8d869.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.916ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {exp} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Insgesamt sind somit die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reellen Exponenten definiert. Im Unterschied dazu sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationalen Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu. Potenzen negativer Zahlen mit anderen reellen Exponenten lassen sich im Bereich der <a href="#Potenzen_komplexer_Zahlen">komplexen Zahlen</a> definieren, sind allerdings nicht reellwertig.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potenzgesetze">Potenzgesetze</h2></div>

Um die nachfolgende Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die ungleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> sind. Betrachtet man aber eines der unten aufgeführten Gesetze mit nur positiven Exponenten, dann ist es auch für Potenzen zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> gültig. Wenn von rationalen Zahlen mit geraden oder ungeraden <a href="Nenner" class="mw-redirect" title="Nenner">Nennern</a> gesprochen wird, dann sind stets die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellungen gemeint.

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{0}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/448ca9a3f4ef03c4dfcf69258912d2c90b097842.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.545ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{0}=1}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> (Anmerkungen zu „null hoch null“ <a href="#Null_hoch_null">siehe unten</a>)

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89f049c26a68f7aed27402c63983ee2290c2a932.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.62ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}}" loading="lazy">

</td>

<td>für beliebige reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"> ist;

für beliebige rationale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> mit ungeraden Nennern, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> ist.

</td></tr>

<tr>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c27335eba4c1d0546f4d3617c1700aef479f082f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.157ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}}" loading="lazy">

</td>

<td>für beliebige natürliche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> und ganze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"> ist; für beliebige natürliche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> und ganze ungerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> ist.

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d992660e26148791407f71dd316443682558c861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.467ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}}" loading="lazy">

</td>

<td>für beliebige reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"> ist; für beliebige rationale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy"> mit ungeraden Nennern, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> ist.

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4da07218b38c083a63a254ca9f4d695365c86bf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.421ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}}" loading="lazy">

</td>

<td>für beliebige reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"> ist; für beliebige rationale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy"> mit ungeraden Nennern, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> ist.

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c946d3cd3a468d970b61d9cc1b5fbfabc0d524b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.642ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}}" loading="lazy">

</td>

<td>für beliebige natürliche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">, und für ganze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f71d26db6311163eb371edf539025d51aad38f61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.167ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b\neq 0}" loading="lazy">;

für beliebige reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0,b>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0,b>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13deb897577731e122710686d3b14e8952436faa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a>0,b>0}" loading="lazy"> sind;

für beliebige rationale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> negativ ist.

</td></tr>

<tr>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c1d3bd984744f460c5fe0349bfd670c75eaa502.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.953ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}}" loading="lazy">

</td>

<td>für beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad073253b4c817f2ec7e3dd7517b7f89a8e581dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.258ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b\neq 0}" loading="lazy"> und ganze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\leq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\leq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1db6362c0fb145e6e5ad9eec91b6d3bf3a0a7a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.31ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r\leq 0}" loading="lazy">, auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy">;

für beliebige reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0,b>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0,b>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13deb897577731e122710686d3b14e8952436faa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a>0,b>0}" loading="lazy"> sind;

für beliebige rationale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> negativ ist.

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77355c2c40f4eda188ebc885f3eecb7278ce4883.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}" loading="lazy">

</td>

<td>für beliebige ganze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> ist; für beliebige reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"> ist; für beliebige rationale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">, mit ungeraden Nennern, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> ist.

</td></tr>

</tbody></table>

Ist mindestens einer der Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy"> irrational oder sind beide rational, aber hat mindestens eine der Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\cdot s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\cdot s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84a81b6e886a006285262cf02e9dfc7182f518b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.818ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r\cdot s}" loading="lazy"> einen geraden Nenner, dann ist einer der Ausdrücke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{r})^{s}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{r})^{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a66999b66807b31caf44135914264bd7214c1d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.016ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{r})^{s}}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{r\cdot s}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{r\cdot s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7cfc5310746f437831e49946461ecf9e8069f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.432ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{r\cdot s}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> undefiniert. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihr <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a>. Für beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"> ist, und für ganze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> ist, stimmen sie immer überein. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> und nicht ganzzahlige, aber rationale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy"> sind diese beiden Fälle möglich. Welcher Fall eintritt, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und des Nenners von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> ab. Um das richtige Vorzeichen auf der rechten Seite der Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{r})^{s}=\pm a^{r\cdot s}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{r})^{s}=\pm a^{r\cdot s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99ad7cb6bedcbc373bafc907cde82d66c33efe4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{r})^{s}=\pm a^{r\cdot s}}" loading="lazy"> zu erkennen, ist es hinreichend, in diese Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/231103d8099e125875dd690668e93a56aa10bd99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.299ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a=-1}" loading="lazy"> einzusetzen. Das Vorzeichen, mit dem sie dann bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/231103d8099e125875dd690668e93a56aa10bd99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.299ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a=-1}" loading="lazy"> gültig ist, bleibt richtig für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> und gegebenem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ec697de81df8a1cd653c7c98471c431c7d77bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.173ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r,s}" loading="lazy">. Gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8fe44ff61b16a26702f6388eff82584bb2cb86e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy">, dann gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{r})^{s}=|a|^{r\cdot s}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{r})^{s}=|a|^{r\cdot s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c46a696d6235fb3af67de68b8a144f32694b537f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.84ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (a^{r})^{s}=|a|^{r\cdot s}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> (und auch für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=0}" loading="lazy">, falls alle Exponenten positiv sind).

Zum Beispiel gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f834a3db0cff5ab7eaa38732890f5aee7d7d6da3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.64ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle ((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-1}">

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc85767bfa9b334ebd966c233af28f5bf2abd242.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.864ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-1}" loading="lazy">. Darum ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{\frac {1}{2}}=-a^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-a}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{\frac {1}{2}}=-a^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0593b0c6a5c8b0db3ca118137125787a3f8128e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.823ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{\frac {1}{2}}=-a^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-a}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> und somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e12efdf618b0da3af9f24bcd7feead3179aa1c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.23ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|}" loading="lazy"> für alle reellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> gültig.

Das Potenzieren ist weder <a href="Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz">kommutativ</a>, denn beispielsweise gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{3}=8\not =9=3^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{3}=8\not =9=3^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790e587f0a6640348645ee9df22d6ff144bf0d0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.054ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 2^{3}=8\not =9=3^{2}}" loading="lazy">, noch <a href="Assoziativgesetz" title="Assoziativgesetz">assoziativ</a>, denn beispielsweise gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(3^{1}\right)^{3}=27\neq 3=3^{\left(1^{3}\right)}}">

<msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(3^{1}\right)^{3}=27\neq 3=3^{\left(1^{3}\right)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de69cef7481b92a6c85c7d6bb30213b3b9c10ebb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.738ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \left(3^{1}\right)^{3}=27\neq 3=3^{\left(1^{3}\right)}}" loading="lazy">.

Die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b^{c}}}">

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b^{c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b63ecd1db856b54d932ae930ad0293c880ad1d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a^{b^{c}}}" loading="lazy"> ohne Klammern bedeutet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{(b^{c})}}">

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{(b^{c})}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c79e1dbb644b63edd4759f81b4ccb729e523a12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.189ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a^{(b^{c})}}" loading="lazy">, das Potenzieren ist demnach <a href="Rechtsassoziativ" class="mw-redirect" title="Rechtsassoziativ">rechtsassoziativ</a>, vgl. <a href="Operatorrangfolge" title="Operatorrangfolge">Operatorrangfolge</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vertauschung_von_Basis_und_Exponent">Vertauschung von Basis und Exponent</h2></div>

Wie schon erwähnt, ist das Potenzieren nicht kommutativ, was die nachfolgende <a href="Ungleichung" title="Ungleichung">Ungleichung</a> bestätigt.

Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe0bf0e2324bac843fab916c46d1b3349017a616.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> sei die <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulersche Zahl</a>. Dann gilt:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} \leq a<b\Rightarrow a^{b}>b^{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0320163469aaa6ad707d192cf795f56861b6523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} \leq a<b\Rightarrow a^{b}>b^{a}}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus der abgebildeten Figur ergibt sich folgende Implikationskette:

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} \leq a<b\Rightarrow m_{a}>m_{b}\Rightarrow {\frac {\ln(a)}{a}}>{\frac {\ln(b)}{b}}\Rightarrow b\cdot \ln(a)>a\cdot \ln(b)\Rightarrow \ln(a^{b})>\ln(b^{a})\Rightarrow a^{b}>b^{a}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} \leq a<b\Rightarrow m_{a}>m_{b}\Rightarrow {\frac {\ln(a)}{a}}>{\frac {\ln(b)}{b}}\Rightarrow b\cdot \ln(a)>a\cdot \ln(b)\Rightarrow \ln(a^{b})>\ln(b^{a})\Rightarrow a^{b}>b^{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/630ab196ca19c996dd78cb1367acc426d36ffbd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:91.878ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} \leq a<b\Rightarrow m_{a}>m_{b}\Rightarrow {\frac {\ln(a)}{a}}>{\frac {\ln(b)}{b}}\Rightarrow b\cdot \ln(a)>a\cdot \ln(b)\Rightarrow \ln(a^{b})>\ln(b^{a})\Rightarrow a^{b}>b^{a}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a></dd></dl>

Analog lässt sich zeigen:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b\leq \mathrm {e} \Rightarrow a^{b}<b^{a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4962c8c3ebcfd1380d4b9bbbcc852eb24e7fc5cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a<b\leq \mathrm {e} \Rightarrow a^{b}<b^{a}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potenzen_komplexer_Zahlen">Potenzen komplexer Zahlen</h2></div>

Für ganzzahlige Exponenten kann man Potenzen mit komplexen Basen wie im reellen Fall definieren. Für beliebige reelle oder komplexe Exponenten muss man jedoch anders vorgehen.

Der erste Schritt zur Definition von Potenzen mit komplexen Basen und Exponenten besteht in der <a href="Stetige_Fortsetzung" class="mw-redirect" title="Stetige Fortsetzung">stetigen Fortsetzung</a> der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671522476834c1addcede5863cd14e9c86e75cd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.205ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}" loading="lazy"> auf die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> der komplexen Zahlen. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man die Reihe

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=\operatorname {exp} (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13fde11ee7de3bd5e2bf403892e037a0a123c9d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.568ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=\operatorname {exp} (z)}" loading="lazy"></dd></dl>

benutzen, die für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/169fae60c23a2027ece2aa7fd4b5047492887e91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.607ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\in \mathbb {C} }" loading="lazy"> konvergiert und für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/246755caa89894a043f9fef85dc8dd64cf348290.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.035ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z=x\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671522476834c1addcede5863cd14e9c86e75cd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.205ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}" loading="lazy"> angibt. Mithilfe von Operationen mit Reihen beweist man danach, dass

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{z_{1}+z_{2}}=\mathrm {e} ^{z_{1}}\mathrm {e} ^{z_{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9e8efc35ae7b4ef74a6ba2c94e6b4509200d1b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.555ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{z_{1}+z_{2}}=\mathrm {e} ^{z_{1}}\mathrm {e} ^{z_{2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8222f3146c75ff25584472f414669d569bc6138.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.823ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }" loading="lazy"> und die <a href="Eulersche_Formel" title="Eulersche Formel">eulersche Formel</a>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}=\cos y+\mathrm {i} \,\sin y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cda772174639b72fa807ee12be474c7549272dbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.338ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}=\cos y+\mathrm {i} \,\sin y}" loading="lazy"></dd></dl>

für beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e17075a7abdf541b17004d8b9d0dac081860d685.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.674ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> gelten. Daraus folgt die Formel

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} \,y}=\mathrm {e} ^{x}\,(\cos {y}+\mathrm {i} \,\sin {y})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1db48c3fbe6b3182be302dddc0091c6bb47e88d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.958ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} \,y}=\mathrm {e} ^{x}\,(\cos {y}+\mathrm {i} \,\sin {y})}" loading="lazy">,</dd></dl>

die man auch für die Definition von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/083793a5a199cc69241f17b694e621d96f951b6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.034ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}}" loading="lazy"> benutzen kann. Diese Formel zeigt, dass die Wertemenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/083793a5a199cc69241f17b694e621d96f951b6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.034ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}}" loading="lazy"> gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91caa89c0163b2f76279b22233ea55460f82a63b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}" loading="lazy"> ist und dass diese Funktion <a href="Periodische_Funktion" title="Periodische Funktion">periodisch</a> ist mit Perioden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2k\pi \mathrm {i} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2k\pi \mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72a435b9b64443e6ea38caaf95d29b93a1bdec1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.353ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2k\pi \mathrm {i} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59a12237af5f2ec5fc7c5023f439266bae1380f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }" loading="lazy">.

Darum ist ihre <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1abe87497efd0ecafc6631ec2d2872632a85f4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.643ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}" loading="lazy"> mehrdeutig und für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b8b7eb2d2a30057811a7835502717d3d6ece962.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.349ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle z\neq 0}" loading="lazy"> definiert. Sie kann mithilfe der Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ln} (z)=\ln |z|+\mathrm {i} \operatorname {Arg} (z)}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ln} (z)=\ln |z|+\mathrm {i} \operatorname {Arg} (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/428fa3971aae20f39dac3d29e1357df944629d8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ln} (z)=\ln |z|+\mathrm {i} \operatorname {Arg} (z)}" loading="lazy"> angegeben werden, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |z|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |z|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28fd4d7dcabf618d707c21bd08306c7b3aa8b68e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.382ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |z|}" loading="lazy"> der Betrag, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03168affcc242d919205cc7b76b785b6e7a4807c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}" loading="lazy"> die Wertemenge des Arguments von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln |z|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln |z|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a32986699652205e67b8e5c72e8ad6a40701cc16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.708ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln |z|}" loading="lazy"> der übliche reelle <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a> ist. Der Hauptwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d2f9fdb71ddc2ed10393c84730ee94f86d46e6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.837ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(z)}" loading="lazy"> dieser Funktion ergibt sich, wenn man den Hauptwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {arg} (z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {arg} (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4908c9277b42e25e414b5d14f38747f90d9168e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {arg} (z)}" loading="lazy"> anstatt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03168affcc242d919205cc7b76b785b6e7a4807c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}" loading="lazy"> benutzt. Für reelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff2e31025c6dacbcaa7e2e35b7f20635f7f99afa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.777ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z=x>0}" loading="lazy"> ist nach der üblichen Definition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {arg} (x)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {arg} (x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49f31ee01240211aa629d682b12e6bda2bca9663.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.636ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {arg} (x)=0}" loading="lazy">, deshalb stimmt diese Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> auf der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97dc5e850d079061c24290bac160c8d3b62ee139.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}" loading="lazy"> mit dem üblichen reellen Logarithmus überein.

Für beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,z\in \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,z\in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76ad187d2a184250d874f8b6120afb045e7fa947.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.871ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,z\in \mathbb {C} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> definiert man dann:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{z}=\mathrm {e} ^{z\,\operatorname {Ln} \,a}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fb64f39472942affa1d5c6097454d99a5e9968a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.723ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{z}=\mathrm {e} ^{z\,\operatorname {Ln} \,a}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das ist auch eine mehrdeutige Funktion, deren Hauptwert sich beim Einsatz von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> anstatt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ln} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ln} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e65f8a31edfcbf01e98772ee52b764239595cd7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ln} }" loading="lazy"> ergibt.

Aber für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=n\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=n\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/232028fa2b36cfbb73cbc414f1484264a925cf21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.972ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z=n\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"> verschwindet diese Mehrdeutigkeit und es entstehen übliche Potenzen mit ganzen Exponenten, die im ersten Abschnitt definiert wurden.

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \in \operatorname {Arg} (a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \in \operatorname {Arg} (a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94e7f67cab54b9bccc6c1d6d274972da467d1dc5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \in \operatorname {Arg} (a)}" loading="lazy">, dann zieht die exponentielle Darstellung

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=|a|\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8788cd6ba1e7ea41c8a5ed85ff1e4e49e2eab41e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.036ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a=|a|\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}" loading="lazy"></dd></dl>

nach sich, dass

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}=|a|^{n}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\varphi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/469d88560e8678f19a10a1f8406acc474d7307cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.459ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a^{n}=|a|^{n}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\varphi }}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt.

Für einen rationalen Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> mit der gekürzten Bruchdarstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b692df81ac75199ff4f94510cd1c59fd44a5129.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.447ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}" loading="lazy">, mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b9738738bbde64a49d8a16466c2703492e51c17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.379ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }" loading="lazy">, hat die Potenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb9d93a9946a00bc4dd72f46129a7a8192f5aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.218ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{q}}" loading="lazy"> genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> unterschiedliche Werte. Dies gilt insbesondere für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}">

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2211e22214f87e6a2303d3d4c2465a3229984bde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.363ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}" loading="lazy">. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ungerade und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} }" loading="lazy">, dann gibt es unter ihnen genau eine reelle Zahl, und das ist gerade die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb9d93a9946a00bc4dd72f46129a7a8192f5aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.218ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{q}}" loading="lazy"> aus dem Abschnitt 1.3.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gerade und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy">, dann nimmt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb9d93a9946a00bc4dd72f46129a7a8192f5aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.218ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{q}}" loading="lazy"> keine reellen Werte an. Wenn aber <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gerade und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"> ist, dann nimmt die Potenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb9d93a9946a00bc4dd72f46129a7a8192f5aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.218ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{q}}" loading="lazy"> genau zwei reelle Werte an, die unterschiedliche Vorzeichen haben. Der positive davon ist in diesem Fall gerade gleich der Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{q}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb9d93a9946a00bc4dd72f46129a7a8192f5aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.218ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{q}}" loading="lazy"> aus dem Abschnitt 1.3.

Als ein Beispiel betrachten wir die Potenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {i} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18f0f09f6fc40e634d34aed6e205ac0f7a40e062.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {i} }" loading="lazy"> hoch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {i} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18f0f09f6fc40e634d34aed6e205ac0f7a40e062.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {i} }" loading="lazy">.

Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {i} |=1}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {i} |=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a469ee5000e5e3dcd6c6fa2b45d338b11ce4347e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.201ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {i} |=1}" loading="lazy"> und

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Arg} (\mathrm {i} )={\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/411ca38ae1a7af34726a6de4aad4ddb0bfdc062e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.086ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Arg} (\mathrm {i} )={\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59a12237af5f2ec5fc7c5023f439266bae1380f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"></dd></dl>

folgt

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ln} (\mathrm {i} )=\mathrm {i} \left({\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12ae09a62c904e9bee805da1e670e31342ff1eda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.857ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ln} (\mathrm {i} )=\mathrm {i} \left({\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Daraus ergibt sich

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5ba353824817ca82f469147b30d9329782e7fa6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:24.992ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi k}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59a12237af5f2ec5fc7c5023f439266bae1380f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"></dd></dl>

Der Hauptwert entspricht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> und ist gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{2}}}.}">

<msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df63fb5d83a9e1c6fcb81ceb715c263bb6f52d94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.791ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{2}}}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezielle_Potenzen">Spezielle Potenzen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zehnerpotenzen">Zehnerpotenzen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Zehnerpotenz" title="Zehnerpotenz">Zehnerpotenz</a></div>

Ganzzahlige Potenzen von 10 bilden die Grundlage <a href="Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">unseres Zahlensystems</a>, des <a href="Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalsystems</a>. Als Potenz geschrieben, z. B. 10−9 für 0,000000001 oder 1011 für 100 Milliarden, werden sie in den Naturwissenschaften zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner positiver Zahlen verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Potenzen_von_e">Potenzen von e</h3></div>

In der Mathematik und Technik besonders wichtig sind weiterhin Potenzen mit der Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} \approx 2{,}71828}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} \approx 2{,}71828}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf95340cb133d86628df97864a66f5192d551f6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.752ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} \approx 2{,}71828}" loading="lazy">, der <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulerschen Zahl</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zweierpotenzen">Zweierpotenzen</h3></div>

Zweierpotenzen ergeben sich durch wiederholte Verdoppelung. Das überraschend schnelle Anwachsen der Zahlen macht Zweierpotenzen für Praxisbeispiele beliebt:

<ul><li>Ein Blatt <a href="Papier" title="Papier">Papier</a> üblicher Größe lässt sich nur etwa siebenmal auf die halbe Größe <a href="Papierfalten" title="Papierfalten">falten</a>. Es hat dann 128 Lagen und nur noch ein 128-tel seiner Fläche. Wenn man es 42-mal falten könnte, was nur theoretisch geht, entspräche seine Dicke von ca. 400.000 km etwa der Entfernung von der Erde zum <a href="Mond" title="Mond">Mond</a>.</li>

<li>Jeder Mensch hat zwei biologische <a href="Elternschaft" title="Elternschaft">Eltern</a> und die meisten haben vier Großeltern und acht Urgroßeltern. Ohne <a href="Ahnenverlust" title="Ahnenverlust">Ahnenverlust</a> wären das vor 70 <a href="Generation" title="Generation">Generationen</a>, zur Zeit Christi Geburt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{70}\approx 10^{21}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{70}\approx 10^{21}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/804f12340fbc4b980ecb376ef745a5eac858cd57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.338ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{70}\approx 10^{21}}" loading="lazy"> <a href="Ahn" class="mw-redirect" title="Ahn">Ahnen</a>, obwohl damals weniger als 109 Menschen gelebt haben.</li>

<li>Die <a href="Weizenkornlegende" class="mw-redirect" title="Weizenkornlegende">Weizenkornlegende</a> vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte, verdeutlicht ebenfalls das rasante Wachstum der Zweierpotenzen.</li></ul>

Zur <a href="Digitalisierung" title="Digitalisierung">digitalen</a> Verarbeitung von <a href="Daten" title="Daten">Daten</a> am <a href="Computer" title="Computer">Computer</a> wird das <a href="Dualsystem" title="Dualsystem">Dualsystem</a> mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16, …). Ein <a href="Kibibyte" class="mw-redirect" title="Kibibyte">Kibibyte</a> (abgekürzt KiB) entspricht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{10}=1024}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{10}=1024}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13588ba2bcf107e75098e0aac63663fa4f147e45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.787ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{10}=1024}" loading="lazy"> <a href="Byte" title="Byte">Bytes</a>.

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Null_hoch_null" title="Null hoch null">Null hoch null</a></div>

00 wird oft als 1 definiert, auch wenn dies keine stetige Fortsetzung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{y}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8561c712e86598255e8434a70affa18ffd7e0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{y}}" loading="lazy"> ist, denn diese gibt es nicht. Manche Autoren lassen den Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/106f0c4e1cbccbfcbb61001a8c17b8427c65366d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.217ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0^{0}}" loading="lazy"> undefiniert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umkehrfunktionen">Umkehrfunktionen</h2></div>

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten:

<ul><li>das <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)">Wurzelziehen</a>, um Gleichungen der Bauart <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{a}=b}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{a}=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b0c3e1bb88e12c2e86d7ca286377e36fd71fcb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.528ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{a}=b}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> aufzulösen, also um die Basis zu ermitteln, wenn der Exponent bekannt ist,</li>

<li>das <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmieren</a> für Gleichungen des Typs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{x}=b}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{x}=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/009ac5470a4ecd0afab8866426ad920c494316c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.498ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{x}=b}" loading="lazy">, also die Bestimmung des Exponenten, wenn die Basis gegeben ist.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Allgemeinere_Basen">Allgemeinere Basen</h3></div>

Allgemein gibt es Potenzen mit positiven, ganzzahligen Exponenten in jeder <a href="Halbgruppe" title="Halbgruppe">Halbgruppe</a>. Hat diese ein <a href="Neutrales_Element" title="Neutrales Element">neutrales Element</a> und wird dadurch zum <a href="Monoid" title="Monoid">Monoid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">, so ist auch Exponent 0 sinnvoll, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83a894726dd8a070c22ea9b3b52e93b3840b7c41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{0}}" loading="lazy"> ist dann immer das neutrale Element. Es gelten für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in M;m,n\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in M;m,n\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc4a2e01f739a5e39dba5ab56d2452ca5daa9f04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.62ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in M;m,n\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy"> die Potenzgesetze

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e03dc0dc5c28f3c415baa021eb8df0afb9768b01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.3ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}" loading="lazy"></li>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5157580e95aa58c552b637714e3dbdee1fbf9530.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}" loading="lazy"></li>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d86a1f843bc180f05385effcde491e00b10a050.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.746ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> vertauschen, d. h. wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=ba}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=ba}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/794f6c310259e816eed4a00262d91bf4f53e37c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.553ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=ba}" loading="lazy"> gilt.</li></ul>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ein <a href="Invertierbares_Element" class="mw-redirect" title="Invertierbares Element">invertierbares Element</a>, so kann man mittels

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ a^{-n}=(a^{-1})^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16667a06f36f663396a4258a64f9140f204db04d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.387ex; width:13.996ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \!\ a^{-n}=(a^{-1})^{n}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"></dd></dl>

Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren. Die Rechenregeln gelten analog. Im Fall <a href="Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelscher Gruppen</a> besagen sie, dass durch die Potenzierung die Struktur eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy">-<a href="Modul_(Mathematik)" title="Modul (Mathematik)">Moduls</a> induziert wird.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Allgemeinere_Exponenten">Allgemeinere Exponenten</h3></div>

Allgemeinere Exponenten wie <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a> werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy">, also als Werte der <a href="Exponentialfunktion#Exponentialfunktion_auf_beliebigen_Banachalgebren" title="Exponentialfunktion">verallgemeinerten Exponentialfunktion</a> betrachtet.

Darüber hinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. So werden beispielsweise in der <a href="Algebraische_Zahlentheorie" title="Algebraische Zahlentheorie">algebraischen Zahlentheorie</a> gelegentlich Potenzen von Elementen von (<a href="Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologischen</a>) <a href="Galoisgruppe" title="Galoisgruppe">Galoisgruppen</a> mit Exponenten in <a href="Vervollst%C3%A4ndigung_(metrischer_Raum)" class="mw-redirect" title="Vervollständigung (metrischer Raum)">Vervollständigungen</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy"> betrachtet; es handelt sich dann um die jeweils eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung der Abbildung

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} \to G,\quad n\mapsto g^{n}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79f352a30b7b17939bc81d1f7d4d70fcce7fbd97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.34ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} \to G,\quad n\mapsto g^{n}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für beliebige <a href="Kardinalzahl_(Mathematik)" title="Kardinalzahl (Mathematik)">Kardinalzahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |X|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |X|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffa803ac0386dbd3c04054a71776b4edc435151c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.274ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |X|}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |Y|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |Y|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d77d76e0920d8d1b6248314980a06ad989ae228.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.067ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |Y|}" loading="lazy"> lässt sich die Potenz durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |Y|^{|X|}:=|Y^{X}|}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |Y|^{|X|}:=|Y^{X}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f05a3924a0cce88bf56282995ef4b76fb54362f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.186ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |Y|^{|X|}:=|Y^{X}|}" loading="lazy"> definieren, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y^{X}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y^{X}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/233b4c76e7ea7aad9de5488491e1c6c7363c0bea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:3.533ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y^{X}}" loading="lazy"> die Menge aller <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> mit <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereich</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <a href="Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Bild</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> bezeichnet, diese Verallgemeinerung setzt das <a href="Potenzmengenaxiom" class="mw-redirect" title="Potenzmengenaxiom">Potenzmengenaxiom</a> voraus, wobei zur Handhabung der Kardinalzahlen in der Regel auch das <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</a> angenommen wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mehrdeutigkeit_der_Exponentenschreibweise">Mehrdeutigkeit der Exponentenschreibweise</h2></div>

Die Exponentenschreibweise kann insbesondere bei <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> verschiedene Bedeutungen haben, je nachdem, ob die Schreibweise die Iteration der Verkettung oder der punktweisen Multiplikation wiedergeben soll. Darüber hinaus könnte auch ein oberer Index gemeint sein. In der Regel geht aus dem Kontext hervor, was gerade gemeint ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verkettung">Verkettung</h3></div>

Die Potenzschreibweise wird oft als abkürzende Schreibweise für die <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Verkettung</a> von Funktionen, deren Werte wieder im Definitionsbereich liegen, verwendet, zum Beispiel für <a href="Iteration" title="Iteration">Iterationen</a> in <a href="Dynamisches_System" title="Dynamisches System">dynamischen Systemen</a>.

Man definiert, wobei id die Identität auf dem Definitionsbereich bezeichnet, rekursiv:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{0}:=\mathrm {id} ;\quad f^{n}:=f\circ f^{n-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/250e004dd3aa95ecbc446b38502488b84799011d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.813ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{0}:=\mathrm {id} ;\quad f^{n}:=f\circ f^{n-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 1}" loading="lazy">, also

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{1}:=f;\quad f^{2}:=f\circ f,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8010316c65779daab1fdaa39e92e585260faf714.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.274ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{1}:=f;\quad f^{2}:=f\circ f,}" loading="lazy"></dd></dl>

und so weiter.

Für die Funktionswerte bedeutet dies

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{0}(x)=\mathrm {id} (x)=x;\quad f^{1}(x)=f(x);\quad f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2d58e4d13d293a27a53c02aebbe14b2b048997.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:66.778ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{0}(x)=\mathrm {id} (x)=x;\quad f^{1}(x)=f(x);\quad f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))}" loading="lazy"></dd></dl>

und allgemein

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{n}(x)=(f\circ f^{n-1})(x)=f\left(f^{n-1}(x)\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/298b0580569b795df0a0223a765bd2ce407ce49a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.544ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{n}(x)=(f\circ f^{n-1})(x)=f\left(f^{n-1}(x)\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Als Erweiterung dieser Definition definiert man üblicherweise noch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}" loading="lazy"> als die <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">. Insbesondere findet sich diese Schreibweise auch auf vielen <a href="Taschenrechner" title="Taschenrechner">Taschenrechnern</a>, beispielsweise wird dort und auch sonst die <a href="Arkusfunktion" title="Arkusfunktion">Arkusfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin }">

<mi>arcsin</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/627fcadc0495786c9167c5487a1a795bb1940edd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.962ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \arcsin }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin ^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin ^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21bc4ca64ac415c9ae60fb4e60fe4bddee17b8ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.188ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sin ^{-1}}" loading="lazy"> bezeichnet. Oft bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}" loading="lazy"> auch die <a href="Urbild_(Mathematik)" title="Urbild (Mathematik)">Urbildfunktion</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multiplikation">Multiplikation</h3></div>

Als abkürzende Schreibweise für die Multiplikation mehrerer Funktionswerte <a href="Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">trigonometrischer Funktionen</a> mit gleichen Argumenten, wie sie beispielsweise bei den <a href="Additionstheoreme_(Trigonometrie)" class="mw-redirect" title="Additionstheoreme (Trigonometrie)">Additionstheoremen</a> für <a href="Winkelfunktion" class="mw-redirect" title="Winkelfunktion">Winkelfunktionen</a> häufig auftreten, hat sich ebenfalls die Potenzschreibweise eingebürgert, das heißt, man schreibt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin ^{2}\!x:=(\sin x)^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)=\sin x\cdot \sin x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed46b29db881727fe59a198406e8f95dc53d73b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.11ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \sin ^{2}\!x:=(\sin x)^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)=\sin x\cdot \sin x}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dies ist nicht mit der oben vorgestellten Schreibweise für die Verkettung von Funktionen verträglich. Gleiches gilt für <a href="Polynom" title="Polynom">Polynome</a>. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/150d38e238991bc4d0689ffc9d2a852547d2658d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.548ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{n}}" loading="lazy"> meint man immer das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-fache Produkt der Unbestimmten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> mit sich selbst. Da die Unbestimmte als <a href="Polynomfunktion" class="mw-redirect" title="Polynomfunktion">Polynomfunktion</a> die identische Abbildung ist, wäre die Potenzschreibweise als Iteration von Funktionen hier nicht sinnvoll.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oberer_Index">Oberer Index</h3></div>

Für indizierte Größen schreibt man den Index manchmal hochgestellt, sodass in den Formeln der Eindruck einer Potenzierung entstehen könnte. Das kommt besonders in der <a href="Tensor" title="Tensor">Tensorrechnung</a> vor, etwa bei der Bezeichnung von <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfeldern</a> in Koordinatenschreibweise, oder bei der Indizierung von Größen, die ihrerseits bereits indiziert sind, etwa Folgen von Folgen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ableitung">Ableitung</h3></div>

Wird der Exponent in Klammern geschrieben, so ist meist die entsprechende <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> gemeint, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(n)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(n)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dfb1963ccde0e87eb3838f51dc19041e2ff3816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.818ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{(n)}}" loading="lazy"> bezeichnet dann die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-te Ableitung der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potenzwert_mit_Zirkel_und_Lineal">Potenzwert mit Zirkel und Lineal</h2></div>

Der Wert einer Potenz kann auch – so wie die <a href="Quadratwurzel#Quadratwurzel_aus_reellen_Zahlen_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Quadratwurzel">Quadratwurzel</a>, die <a href="Multiplikation#Multiplikation_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Multiplikation">Multiplikation</a> und die <a href="Division_(Mathematik)#Division_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Division (Mathematik)">Division</a> – als <a href="Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">Konstruktion mit Zirkel und Lineal</a> mithilfe des <a href="Strahlensatz" title="Strahlensatz">Strahlensatzes</a> dargestellt werden. Die Bedingung dabei ist: Die Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist eine <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahl</a> und der Exponent eine positive <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganze Zahl</a>.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> größer oder kleiner als die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten für einen Potenzwert gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{4}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588573001f149140016d73dc372695ef1549e6ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{4}}" loading="lazy"> beschrieben. Dabei wird auch die Vorgehensweise für Potenzwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f564e5dc0b6e68af32ca8614e972f5b36e944a24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{2}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abd83c98f7301a720f69dd6d4043461e4cc83daa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{3}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2687184a7698e75db65a25bea7afd207bff3d03b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.448ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{n}}" loading="lazy"> erkennbar.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktion_für_a_>_1">Konstruktion für a > 1</h3></div>

Zunächst zieht man durch den vorher bestimmten Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> den ersten <a href="Strahl_(Geometrie)" title="Strahl (Geometrie)">Strahl</a> und bestimmt darauf die Länge gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">. Es folgt der Halbkreis mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> um den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95547343453ea34a314dd174f8458012f5a39ca3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0,}" loading="lazy"> die Schnittpunkte sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0eccf5bca7cdc1fa4439af2d31831db6bde00473.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.411ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B.}" loading="lazy"> Nun wird eine Senkrechte zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> errichtet, bis sie den Halbkreis in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b144e466a3757b4706daf24a45d4f1266700016.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B'}" loading="lazy"> schneidet. Das Einzeichnen des zweiten Strahls durch den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b144e466a3757b4706daf24a45d4f1266700016.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B'}" loading="lazy"> schließt sich an.

Weiter geht es mit dem Errichten einer Senkrechten auf dem zweiten Strahl im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b144e466a3757b4706daf24a45d4f1266700016.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B'}" loading="lazy">, bis sie den ersten Strahl in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> schneidet. Die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {0D}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {0D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee083a08f8909bacfc559f444540f8eb69973095.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.202ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {0D}}}" loading="lazy"> entspricht dem Potenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2795487c345a72a598f353b8aae7c503a7144513.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.931ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{2}.}" loading="lazy"> Jetzt wird eine Senkrechte auf dem ersten Strahl im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> errichtet, bis sie den zweiten Strahl in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> schneidet. Schließlich liefert eine letzte Senkrechte auf dem zweiten Strahl im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> den Potenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{4}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588573001f149140016d73dc372695ef1549e6ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{4}}" loading="lazy"> als Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {0G}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {0G}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cdcd06218f85860dab0086b38cb88d952e109c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.104ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {0G}}}" loading="lazy">.

<ul><li>Die beiden gestrichelten Linien sowie die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> werden für die Lösung des Potenzwertes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{4}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588573001f149140016d73dc372695ef1549e6ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{4}}" loading="lazy"> nicht benötigt. Sie dienen lediglich der Verdeutlichung wie der Potenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abd83c98f7301a720f69dd6d4043461e4cc83daa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{3}}" loading="lazy"> bestimmt werden kann.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktion_für_a_<_1">Konstruktion für a < 1</h3></div>

Zuerst werden z. B. auf einer <a href="Zahlengerade" title="Zahlengerade">Zahlengeraden</a> die Längen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> als Strecken <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BD}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BD}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c71fd62ec7ad127356017d4a62c77e118fd00d63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.803ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BD}}}" loading="lazy"> aufgetragen. Anschließend wird der Halbkreis über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea69bf8ccc972402f794c261e00b222f396bcce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}}" loading="lazy"> eingezeichnet. Es folgen die Halbierung der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BD}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BD}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c71fd62ec7ad127356017d4a62c77e118fd00d63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.803ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BD}}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und das Ziehen des Kreisbogens mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {ED}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {ED}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c45e21211b4c17c19d508de2e7a5d4529b35e8d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.815ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {ED}}}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">, bis er den Halbkreis in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> schneidet. Nun wird das <a href="Lot_(Mathematik)" title="Lot (Mathematik)">Lot</a> ab <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> auf die Zahlengerade mit Fußpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> gefällt. Die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BG}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BG}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b81b2ecba69d120d83fdc0c7ab74ef8fc8773e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.706ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BG}}}" loading="lazy"> entspricht dem Potenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2795487c345a72a598f353b8aae7c503a7144513.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.931ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{2}.}" loading="lazy"> Nach den Verbindungen der Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> ergibt sich am <a href="Winkel" title="Winkel">Scheitel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> ein <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechter Winkel</a>.

Weiter geht es mit dem Ziehen einer <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">Parallelen</a> zur Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {DF}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {DF}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dfb8fc4421bcebba1f6e306e0b4eea3c52919d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.94ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {DF}}}" loading="lazy"> ab <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">, bis sie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BF}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BF}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca31f699e82d300c228ef8d2ac1610f3c602a702.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.78ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BF}}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> schneidet. Der nun folgende <a href="Kreisbogen" title="Kreisbogen">Kreisbogen</a> mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BH}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BH}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb9be9be263fa26c0357a67d38e4aee0d5e29a19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.029ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BH}}}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> schneidet den Zahlenstrahl in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d88084f0ce6b21a819684057ef0e480b900c0bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.819ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I.}" loading="lazy"> Die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BI}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BI}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da0e771a54d00390f3388d6e35437bca9b1c3219.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.147ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BI}}}" loading="lazy"> entspricht dem Potenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{3}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{3}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e50807be8819c971eea302637b69272c10ad4f17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.931ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{3}.}" loading="lazy"> Eine Parallele zur Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {GH}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {GH}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c50166dee8b1e17d6452af123a4401fe80a06e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.091ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {GH}}}" loading="lazy"> ab <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> schneidet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BF}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BF}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca31f699e82d300c228ef8d2ac1610f3c602a702.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.78ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BF}}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy">. Abschließend wird der Kreisbogen mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BJ}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BJ}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61a293782fafa551357991f64d095be24f3058fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.468ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BJ}}}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> gezogen, bis er den Zahlenstrahl in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> schneidet. Die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BK}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BK}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6c88bfb9ee72c1db17ea42051d3b204a4134e54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.005ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BK}}}" loading="lazy"> ist der gesuchte Potenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{4}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{4}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5a1a4485db49e75ca70f42c417f3f16ba47908b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.931ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{4}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Technische_Schreibweise">Technische Schreibweise</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung">Darstellung</h3></div>

Die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{y}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8561c712e86598255e8434a70affa18ffd7e0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{y}}" loading="lazy"> mit hochgestelltem Exponenten ist praktisch und gut lesbar in handgeschriebenen Formeln und im <a href="Satz_(Druck)" title="Satz (Druck)">Schriftsatz</a>, aber unpraktisch bei <a href="Schreibmaschine" title="Schreibmaschine">Schreibmaschinen</a> und <a href="Terminal_(Computer)" title="Terminal (Computer)">Terminals</a>, bei denen die Zeichen einer Zeile alle auf einer Höhe stehen. Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist, verwendet man in Anlehnung an gängige Programmiersprachen oft die Schreibweise <code>a^b</code> oder auch <code>a**b</code>

Zehnerpotenzen werden in der <a href="Elektronische_Datenverarbeitung" title="Elektronische Datenverarbeitung">elektronischen Datenverarbeitung</a> oder in der Anzeige auf <a href="Taschenrechner" title="Taschenrechner">Taschenrechnern</a> häufig mit e oder E dargestellt.

Häufig anzutreffende Darstellung für z. B. −299792458 = −2,99792458·108

<table>

</td>

<td>(8-stellige 7-Segment-Anzeige)

</td></tr>

<tr>

</td>

<td>(10-stellige 7-Segment-Anzeige)

</td></tr>

<tr>

</td>

<td>(8-stellige 7-Segment-Anzeige + Exponentenfeld)

</td></tr>

<tr>

</td>

<td>(16-stellige Punktmatrixanzeige)

</td></tr>

<tr>

</td>

<td>(Gleitkommadarstellung nach <a href="IEEE_754" title="IEEE 754">IEEE</a>)

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="In_Programmiersprachen">In Programmiersprachen</h3></div>

<a href="Programmiersprache" title="Programmiersprache">Programmiersprachen</a> verwenden unterschiedliche Wege, um eine Potenz darzustellen:

<ul><li><code>x ↑ y</code>: <a href="ALGOL" title="ALGOL">ALGOL</a>, <a href="Commodore_BASIC" title="Commodore BASIC">Commodore BASIC</a></li>

<li><code>x ^ y</code>: <a href="BASIC" title="BASIC">BASIC</a>, <a href="J_(Programmiersprache)" title="J (Programmiersprache)">J</a>, <a href="MATLAB" class="mw-redirect" title="MATLAB">MATLAB</a>, <a href="R_(Programmiersprache)" title="R (Programmiersprache)">R</a>, <a href="Microsoft_Excel" title="Microsoft Excel">Microsoft Excel</a>, <a href="TeX" title="TeX">TeX</a> (und seine Ableger), <a href="TI-Basic" title="TI-Basic">TI-Basic</a>, <a href="Basic_Calculator" class="mw-redirect" title="Basic Calculator">bc</a> (für ganzzahlige Exponenten), <a href="Haskell_(Programmiersprache)" title="Haskell (Programmiersprache)">Haskell</a> (für nicht negative ganzzahlige Exponenten), <a href="Lua" title="Lua">Lua</a>, <a href="Active_Server_Pages" title="Active Server Pages">ASP</a> und die meisten <a href="Computeralgebrasystem" title="Computeralgebrasystem">Computeralgebrasysteme</a></li>

<li><code>x ^^ y</code>: Haskell (für rationale Basis und ganzzahlige Exponenten), <a href="D_(Programmiersprache)" title="D (Programmiersprache)">D</a></li>

<li><code>x ** y</code>: <a href="Ada_(Programmiersprache)" title="Ada (Programmiersprache)">Ada</a>, <a href="Bourne-again_shell" class="mw-redirect" title="Bourne-again shell">Bash</a>, <a href="COBOL" title="COBOL">COBOL</a>, <a href="Fortran" title="Fortran">Fortran</a>, FoxPro, <a href="Gnuplot" title="Gnuplot">Gnuplot</a>, <a href="Objective_CAML" class="mw-redirect" title="Objective CAML">OCaml</a>, <a href="Object_REXX" title="Object REXX">ooRexx</a>, <a href="Perl_(Programmiersprache)" title="Perl (Programmiersprache)">Perl</a>, <a href="PHP" title="PHP">PHP</a>, <a href="PL/I" title="PL/I">PL/I</a>, <a href="Python_(Programmiersprache)" title="Python (Programmiersprache)">Python</a>, <a href="REXX" title="REXX">REXX</a>, <a href="Ruby_(Programmiersprache)" title="Ruby (Programmiersprache)">Ruby</a>, <a href="SAS_(Programmiersprache)" class="mw-redirect" title="SAS (Programmiersprache)">SAS</a>, <a href="Seed7" title="Seed7">Seed7</a>, <a href="Tcl" title="Tcl">Tcl</a>, <a href="ABAP" title="ABAP">ABAP</a>, Haskell (für Gleitkomma-Exponenten), <a href="Turing_(Programmiersprache)" title="Turing (Programmiersprache)">Turing</a>, <a href="Very_High_Speed_Integrated_Circuit_Hardware_Description_Language" title="Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language">VHDL</a>, <a href="JavaScript" title="JavaScript">JavaScript</a>, <a href="SETL" title="SETL">SETL</a></li>

<li><code>(expt x y)</code>: <a href="Common_Lisp" title="Common Lisp">Common Lisp</a></li>

In vielen Programmiersprachen gibt es statt eines Potenzoperators eine entsprechende Bibliotheksfunktion, beispielsweise

<li><code>Math.pow(x,y)</code> in <a href="Java_(Programmiersprache)" title="Java (Programmiersprache)">Java</a> oder <a href="JavaScript" title="JavaScript">JavaScript</a> und</li>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwandte_Themen">Verwandte Themen</h2></div>

<ul><li><a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> ist eine Funktion mit variablem Exponenten, die <a href="Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzfunktion</a> mit variabler Basis.</li>

<li>Entsprechende Folgen sind die <a href="Geometrische_Folge" title="Geometrische Folge">geometrische Folge</a> und die <a href="Potenzfolge" class="mw-redirect" title="Potenzfolge">Potenzfolge</a>.</li>

<li>Die <a href="Bin%C3%A4re_Exponentiation" title="Binäre Exponentiation">binäre Exponentiation</a> ist ein effizientes Verfahren zur Potenzierung mit natürlichen Exponenten.</li>

<li>Als <a href="Potenzturm" title="Potenzturm">Potenzturm</a> werden Potenzen bezeichnet, deren Basis und/oder Exponent selbst eine Potenz ist.</li>

<li><a href="Gr%C3%B6%C3%9Fenordnung" title="Größenordnung">Größenordnung</a>, <a href="Wissenschaftliche_Notation" title="Wissenschaftliche Notation">wissenschaftliche Notation</a> – zur Darstellung von Zahlen mittels Potenzen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Perfekte_Potenz" title="Perfekte Potenz">Perfekte Potenz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Kompass/_Arbeiten_mit_Termen/_Potenzen" class="extiw external" title="b:Mathematrix: Kompass/ Arbeiten mit Termen/ Potenzen">Wikibooks: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{matrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{matrix}}}}">

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{matrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{matrix}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/648b8f837ba17ef3e5a90e6a86b41956ecba9422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.352ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{matrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{matrix}}}}" loading="lazy"> Mathematik für die Schule</a> – Potenzen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Potenz" class="extiw external" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Potenz">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Potenz</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.duden.de/rechtschreibung/Potenz">Potenz.</a> Bibliographisches Institut – Dudenverlag, abgerufen am 3. Juni 2016.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APotenz+%28Mathematik%29&rft.title=Potenz&rft.description=Potenz&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.duden.de%2Frechtschreibung%2FPotenz&rft.publisher=Bibliographisches+Institut+%E2%80%93+Dudenverlag">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Lehnübersetzung aus gr. δύναμις, dýnamis, das in der antiken <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> spätestens seit <a href="Platon" title="Platon">Platon</a> auch die Bedeutung „Quadrat“ hatte.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag <a href="Berlin" title="Berlin">Berlin</a> <a href="Heidelberg" title="Heidelberg">Heidelberg</a> 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 150

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="Mathematics_Magazine" title="Mathematics Magazine">Mathematics Magazine</a>, vol. 64, no. 1 (Feb. 1991), S. 31

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Brian W. Kernighan, Lorinda L. Cherry: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Typesetting Mathematics – User’s Guide</cite>. 2. Auflage. 1978, S. 2 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kohala.com/start/troff/v7man/eqn/eqn2e.ps">kohala.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potenz+%28Mathematik%29&rft.au=Brian+W.+Kernighan%2C+Lorinda+L.+Cherry&rft.btitle=Typesetting+Mathematics+-+User%E2%80%99s+Guide&rft.date=1978&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.pages=2" style="display:none">

</li>

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